Analysis I - download pdf or read online

By Christiane Tretter (auth.)

ISBN-10: 3034803486

ISBN-13: 9783034803489

ISBN-10: 3034803494

ISBN-13: 9783034803496

Dieses kompakte Lehrbuch ist der erste von zwei einführenden Bänden in die research. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es alle klassischen Themen der research im ersten Semester genau im Umfang einer vierstündigen Vorlesung präsentiert und gleichzeitig auf typische Anfängerschwierigkeiten eingeht. Dazu gehören eine Einführung in die formale Sprache der Mathematik und in die wichtigsten mathematischen Beweistechniken, ebenso wie vorlesungserprobte plakative Erläuterungen von anfangs ungewohnten abstrakten Begriffen. Alle prüfungsrelevanten Inhalte, von Folgen und Reihen über die Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer reellen Variablen bis zum Satz von Taylor, werden abgedeckt und mit Beispielen, Gegenbeispielen und Übungsaufgaben illustriert. Durch den geschickten Aufbau werden aber auch grundlegende Zusammenhänge, etwa aus der Topologie, herausgearbeitet.

Das Buch wendet sich an alle, die eine erste Vorlesung in research besuchen, additionally Studierende der Mathematik, der Physik und der Informatik. Es eignet sich aber auch direkt als Vorlesungsmanuskript für Dozierende und für Mathematikbegeisterte vor dem Studium.

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K→∞ n→∞ x ∗ ist größtmöglicher Häufungswert: Es sei x > x ∗ . 15 ein n0 ∈ N mit x ∗ ≤ yn0 < x. Nach Definition von yn0 ist dann xk ≤ yn0 < x, k ≥ n0 , also ist x kein Häufungswert von (xn )n∈N . x ∗ ist Häufungswert: Da x ∗ = limn→∞ yn , gibt es für jedes m ∈ N ein nm ∈ N mit x∗ + 1 1 > ynm = sup {xk : k ≥ nm } ≥ x ∗ > x ∗ − . 1) folgt insgesamt 1 1 x∗ + > xkm > x ∗ − . m m Da m ∈ N beliebig war, folgt limm→∞ xkm = x ∗ , also ist x ∗ Häufungswert. 10. Es sei (zn )n∈N ⊂ C eine beschränkte Folge. 1) 1 m.

Mit n ≥ max{N, N } ergibt sich der Widerspruch a − " < xn ≤ yn < b + " . 36. Es seien K ein angeordneter Körper und (xn )n∈N ⊂ K konvergent. 37 ∀ n ≥ n0 : ˛ ≤ xn ≤ ˇ, so folgt ˛ ≤ lim xn ≤ ˇ. n→∞ Sandwich-Lemma. In einem angeordneten Körper K seien Folgen (xn )n∈N , (yn )n∈N , (zn )n∈N ⊂ K gegeben. 38 ∀ n ≥ n0: xn ≤ yn ≤ zn , so gilt: lim xn = lim zn = a n→∞ xn = n→∞ ⇒ lim yn = a. 38, denn: n3 + 2n2 + 1 0≤ n2 + 3n = n3 + 2n2 + 1 1 n + n32 3 1 ≤ + 2 → 0, 1 2 n n 1+ + 3 n n ≥1 n → ∞. 39 IV Metrische Räume und Folgen Eine Folge (xn )n∈N in einem angeordneten Körper K heißt (i) monoton wachsend :⇐⇒ xn ≤ xn+1 , n ∈ N, (ii) monoton fallend :⇐⇒ xn ≥ xn+1 , n ∈ N, und monoton, wenn (i) oder (ii) gilt.

7 (ii) dann (znkm )m∈N eine konvergente Teilfolge von (zn )n∈N . Bemerkung. Der Satz von Bolzano-Weierstraß in R ist eine weitere äquivalente Formulierung der Vollständigkeit von R. 13 Für eine Folge (xn )n∈N ⊂ R gilt: (xn )n∈N konvergent in diesem Fall ist ⇐⇒ lim sup xn = lim inf xn ; n→∞ n→∞ lim xn = lim sup xn = lim inf xn . n→∞ n→∞ n→∞ Beweis. Der Beweis ist eine gute Übung, da man hier die sperrigen Begriffe Limes superior bzw. inferior mit dem vertrauteren Begriff des Limes zu verbinden lernt.

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