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By Daniel Grieser

ISBN-10: 365805946X

ISBN-13: 9783658059460

ISBN-10: 3658059478

ISBN-13: 9783658059477

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Dies ist zwar die Intuition für Stetigkeit, aber wir müssen diese Intuition in eine mathematische Definition übersetzen (um beispielsweise auch dann von Stetigkeit reden zu können, wenn wir den Graphen nicht mehr zeichnen können). Dass sich mit dieser Definition der Zwischenwertsatz beweisen lässt, ist ein Test dafür, dass sie wirklich unsere Erwartungen erfüllt – und auch dafür, dass die Axiome der reellen Zahlen vernünftig sind. Ähnlich verhält es sich mit vielen der Beweise in Kap. 2, z. B. dass x  ≥  für alle reellen Zahlen x gilt.

Es gilt per Definition: Z = N ∪ {} ∪ {−n ∶ n ∈ N}. 2 ist Z also abzählbar. Außerdem gilt Q={ n n ∶ n, m ∈ Z , m ≠ } = ⋃ { ∶ n ∈ Z} . 2 auch Q abzählbar. 4 Korollar (1) Sind die Mengen M, N abzählbar, so ist M × N abzählbar. (2) Ist M abzählbar und n ∈ N, so ist M n abzählbar. 2(2). Wir beweisen (2) mittels Induktion: Für n =  ist M  = M abzählbar. Wissen wir bereits, dass M n abzählbar ist, so ◻ ist M n+ = M n × M nach (1) ebenfalls abzählbar. Gibt es überhaupt überabzählbare Mengen? Wie könnte ein Beweis aussehen, dass eine Menge überabzählbar ist?

Für die Analysis besonders wichtige Mengen sind die Zahlbereiche N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C und die Intervalle. 2 Definition Seien a, b ∈ R und a ≤ b. ) zu Gruppen zusammenzufassen. Aus zwei Objekten a, b kann man ein Paar (a, b) bilden. Hierbei kommt es auf die Reihenfolge an, d. , (a, b) und (b, a) sind verschieden, falls a ≠ b ist. Die beiden Objekte dürfen auch gleich sein, das zählt aber immer noch als Paar: (a, a). Sind A, B Mengen, so bezeichnet man mit A × B (Produktmenge) die Menge aller Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B.

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Analysis I: Eine Einführung in die Mathematik des Kontinuums by Daniel Grieser


by Ronald
4.2

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